Санкт-Петербургский центр
дополнительного профессионального образования
Образовательный проект Razvitum

Решение уравнений, неравенств, построение графиков функций с применением компьютерной техники
13 минут 5075 1668

Решение уравнений, неравенств, построение графиков функций с применением компьютерной техники

Sinyaeva fotoДорогие друзья, мы рады вновь представить вам Синяеву Светлану Ивановну, учителя информатики МКОУ «Центральская СОШ» п. Централь Воронежской области. Сегодня Светлана Ивановна с радостью делится с нами статьей «Решение уравнений, неравенств, построение графиков функций с применением компьютерной техники». Данный материал будет полезен учителям математики, учащимся 10-11 классов, студентам.

Краткий комментарий к статье от Светланы Ивановны:

«Современная цивилизация в значительной степени держится на математических вычислениях, хотя неспециалисты об этом думают редко. Математическое вторжение на “нечисловую” территорию и ее эффективное “завоевание” стали возможными благодаря революции, произведенной компьютерами. Все мы учились в школе, многие были студентами, поэтому проблема решения уравнения или нахождения интеграла знакома практически всем. Но использовать для подобной работы компьютер могут очень немногие. А между тем в последние годы появился целый ряд программ, позволяющих выполнить расчет практически любой сложности.
Действительно, мир управляется числами, но в век прогресса нельзя обойтись простыми счетами или калькулятором для вычисления, выполнения действий с этими числами. Системы компьютерной математики Maple, Mathematica, Mathlab и Mathcad существенно облегчают диалог человека с компьютером при решении математических задач».

Познавательного чтения…


Решение уравнений, неравенств, построение графиков функций с применением компьютерной техники.

Посмотреть статью в полной версии

В наше время в связи с развитием информационных технологий появились так называемые системы компьютерной математики, или их ещё называют математические пакеты, которые облегчают выполнение различных математических задач, помогают проверить решение задачи с помощью компьютерной программы. Намного сокращается время выполнения задач различной сложности, в том числе и задач, содержащих знак модуля.

Для решения задач, содержащих знак модуля, применяются несколько математических пакетов, таких как Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple, Statistica и другие. Рассмотрим три основных из них: Mathcad, MATLAB и Mathematica; каждый в отдельности - его особенности и интерфейс, а потом проведём сравнительный анализ между ними.

Mathcad - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом, которая предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических задач различной сложности. Меню в Mathcad не представляет собой ничего необычного: как и во многих других программах имеются различные панели инструментов, панель форматирования. Кроме того есть панель "Математика", которая включает в себя такие панели как "Калькулятор", "Графика", "Матрицы", "Вычисления", "Исчисление", "Логический", "Программирование", "Греческий" и "Символьный". Эти панели содержат различные символы, не набираемые с клавиатуры, а также функции.

Неполный список операторов Mathcad приведён в таблице 1.

Все перечисленные в таблице 1 операторы можно набирать с клавиатуры, можно найти на панели инструментов в меню Математика. Это панели Арифметика, Матанализ, Булево.

Большинство операторов можно ввести в рабочий документ, используя палитры операторов. Чтобы открыть палитру операторов, нажмите на нужную кнопку на полосе кнопок непосредственно под командами меню.

При помощи Mathcad можно решать уравнения и системы уравнений с модулями. Можно решать как одно уравнение с одним неизвестным, так и системы уравнений с несколькими неизвестными. Максимальное число уравнений и неизвестных в системе равно пятидесяти.

Для решения одного уравнения с одним неизвестным используется функция root(f(z), z) - возвращает значение z, при котором выражение или функция f(z) обращается в 0. Функция root предназначена для решения одного уравнения с одним неизвестным.

Mathcad дает возможность решать также и системы уравнений с модулями. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня. Для символьного решения уравнений необходимо использовать блоки символьного решения уравнений. При символьном решении уравнений искомый корень выражается через другие переменные и константы.

Find (z1, z2, z3, . . .) - возвращает решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, стоящее вначале определения уравнения, сами уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называются блоком решения уравнений.

Графики в Mathcad являются и универсальными, и легкими в использовании. Чтобы создать график, щёлкните в месте, где нужно вставить график, выберите Декартов график из меню Графика и заполните пустые поля. Можно всячески форматировать графики, изменяя вид осей и начертания кривых и используя различные метки.

В рабочие документы Mathcad можно включать наряду с двумерными и трехмерные графики. В отличие от двумерных графиков, которые используют дискретные аргументы и функции, трехмерные графики требуют матрицы значений. Здесь показано, как можно матрицу представить в виде поверхности в трехмерном пространстве. Также рассматривается создание, использование и форматирование поверхностей в трехмерном пространстве.

MATLAB - это интерактивная система, основным объектом которой является массив, для которого не требуется указывать размерность явно. Это позволяет решать многие вычислительные задачи, связанные с векторно-матричными формулировками, существенно сокращая время, которое понадобилось бы для программирования на скалярных языках типа C или FORTRAN.

Система MATLAB - это одновременно и операционная среда и язык программирования. Одна из наиболее сильных сторон системы состоит в том, что на языке MATLAB могут быть написаны программы для многократного использования. Пользователь может сам написать специализированные функции и программы, которые оформляются в виде М-файлов.

Операционная среда системы MATLAB - это множество интерфейсов, которые поддерживают связь этой системы с внешним миром. Это - диалог с пользователем через командную строку или графический интерфейс, просмотр рабочей области и путей доступа, редактор и отладчик М-файлов, работа с файлами и оболочкой DOS, экспорт и импорт данных, интерактивный доступ к справочной информации, динамическое взаимодействие с внешними системами Microsoft Word, Excel Microsoft Word, Excel и др.. Реализуются эти интерфейсы через командное окно, инструментальную панель, системы просмотра рабочей области и путей доступа, редактор/отладчик М-файлов, специальные меню и т.п. Командное окно системы MATLAB содержит опции, которые можно посмотреть в таблице 2.

Из данных таблицы 2 видно, что инструментальная панель командного окна системы MATLAB позволяет обеспечить простой доступ к операциям над М-файлами. Эти операции включают:

- создание нового М-файла (New File);

- открытие существующего М-файла (Open File);

- копирование фрагмента (Copy);

- вставка фрагмента (Paste);

- просмотр рабочей области (Workspace Browser);

- текущая помощь (Help).

В системе MATLAB имеется обширная библиотека математических функций. Каждой функции соответствует определенное имя. Функция ставит в соответствие значениям своих аргументов значение результата

Аргументы функции всегда указываются в круглых скобках после имени функции и, если их больше одного, разделяются запятыми.

Базовые функции:

1. ABS - абсолютное значение.

2. ANGLE - аргумент комплексного числа.

3. REAL, IMAG - действительная и мнимая части комплексного числа.

4. CEIL, FIX, FLOOR, ROUND - функции округления.

Начиная с версии 4.0, в состав системы MATLAB входит мощная графическая подсистема, которая поддерживает как средства визуализации двумерной и трехмерной графики на экран терминала, так и средства презентационной графики.

Элементарные графические функции системы MATLAB позволяют построить на экране следующие типы графиков: линейный, логарифмический, полярный.

Для каждого графика можно задать заголовок, нанести обозначение осей и масштабную сетку.

Приведем пример построения графика в программе MATLAB при решении неравенства |x + 5| < bx.

Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx на рисунке 1. Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.

Из данных рисунка 1 видно следующее:

1. При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит, это множество и есть решение неравенства.

2. Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3. При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4. При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.

Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1; x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.

Также раздел специальной графики включает графические команды и функции для построения столбцовых диаграмм, гистограмм, средств отображения векторов и комплексных элементов, вывода дискретных последовательностей данных, а также движущихся траекторий, как для двумерной, так и для трехмерной графики.

Система Mathematica, созданная лет десять тому назад, имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. Все так называемые элементарные функции и огромное количество неэлементарных; алгебраические и логические операции.

Система Mathematica очень широко распространена в мире, ею захвачены огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в системе образования.

Решение уравнения в системе Mathematica. Корни уравнения находятся с помощью функции Solve. Корни уравнения есть функции, зависящие от параметра. Вычисление интеграла происходит аналогично вычислениям в других математических пакетах. Можно использовать систему Mathematica для построения двумерных и трехмерных графиков функций при решении задач, содержащих знак модуля. График этой функции показан на рисунке 2.

Рисунок 2 – График функции построенный в программе Mathematica

Из рисунка 2 видно, что можно воспользоваться большим количеством вычислительных возможностей системы Mathematica простым нажатием одной из кнопок в стандартных палитрах.

Таким образом, система Mathematica объединяет в себе большой запас математических знаний и использует свои собственные алгоритмы. В системе Mathematica реализованы сотни специальных функций, используемых в чистой и прикладной математике. Встроенные алгоритмы системы Mathematica способны справиться с широким спектром математических задач.

Сравнительный анализ систем компьютерной математики с помощью которых можно решать задачи, содержащие знак модуля, представлены в таблице 3.

Из данных таблицы 3 видно, что все математические пакеты сходны между собой. У них похожие принципы построения вычислений, графиков функций. И в Mathcad, и в MATLAB, и в Mathematica есть списки встроенных функций и операторов. Но имеются и отличия, например в интерфейсе. Также отметим, что все представленные программы позволяют решать задачи, содержащие знак модуля, различными методами.

Список использованной литературы

1.Алексеев Е. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. 2006 год. 496 стр.

2.Башмаков М.И. Уравнения и неравенства /Башмаков М.И. – М.: ВЗМШ при МГУ, 2010. – 134 с.

3.Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ /Н.Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 2009. – 79 с.

4.Макаров Е.Г. Mathcad. Учебный курс. 2009 год. 385 стр.

5.Чен К, Джиблин П., Ирвинг А. Matlab в математических исследованиях. 2001 год. 346 стр.

6.Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB. 2009 год. 304 стр.

Может быть интересно

Непосредственно образовательная деятельность по социально-нравственному воспитанию «Дружба живёт среди нас»

Дорогие друзья, сегодня постоянный участник нашей рубрики "Мастера своего дела" Семкова Галина Васильевна, воспитатель МДОУ "Солнышко" № 10 г. Нерюнгри РС (Якутия), предлагает вашему вниманию непосредственно образовательную деятельность по социально-нравственному воспитанию «Дружба живёт среди нас». Данный материал будет полезен педагогам ДОУ. Краткий комментарий к статье от Галины Васильевны: «Задачи: обобщить...
10 минут 2346 670

Методические рекомендации по использованию музыкально - дидактической игры «Веселое музыкальное путешествие»

Дорогие друзья, мы рады познакомить вас с Дрозд Ольгой Владимировной, музыкальным руководителем МБДОУ «ЦРР детский сад № 52» г. Владимира Владимирской области. Сегодня Ольга Владимировна делится своим профессиональным опытом по использованию музыкально – дидактической игры «Веселое - музыкальное путешествие». Это игра будет интересна детям, педагогам ДОУ и родителям. Краткий комментарий...
5 минут 2186 608